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El aprendizaje de las matemáticas y el cerebro

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Es habitual considerar que la capacidad de los seres humanos para procesar objetos matemáticos fue adquirida a lo largo de su evolución cultural. Este modo de ver las cosas se refleja en las versiones acerca de la historia de las matemáticas, la mayoría de las cuales afirma que la evolución del conocimiento matemático consiste en la adquisición de una serie de logros acumulativos en el contexto de determinadas culturas. Como estos logros luego son incorporados por otros grupos, se da un proceso evolutivo. Es decir, mejoran y eventualmente agregan nuevos conceptos al conjunto de conocimientos que se denomina matemáticas.


En los textos de historia y aun filosofía de las matemáticas, poco es lo que se dice acerca de si el cerebro humano posee una capacidad innata para procesar objetos matemáticos y establecer relaciones entre ellos; capacidad que estaría presente aun en especies animales distantes del ser humano.


En este artículo analizaremos algunos aspectos de esta cuestión, tratando en particular de responder, aunque más no sea parcialmente, a las siguientes preguntas:


- ¿Es el conocimiento de objetos matemáticos exclusivo de la cultura y por lo tanto limitado al ser humano? 


- Como consecuencia de la afirmación anterior, ¿los animales y los niños en las etapas muy tempranas de su desarrollo son incapaces de manejar objetos matemáticos? O en contraste con esto ¿la habilidad matemática es un logro evolutivo presente en varias especies pero desarrollado al máximo por el cerebro humano?


-¿Existe alguna relación entre funciones y áreas cerebrales específicas con las habilidades matemáticas?


Las habilidades matemáticas en los animales y los niños


Aun en ausencia de entrenamiento previo una leona es capaz de reconocer si un grupo rival de leones es más o menos numeroso que el grupo al que ella pertenece y utilizar esta información para decidir o no si lo enfrenta para buscar alimento para ella misma y para sus crías. Obviamente los ejemplos son numerosos y todo parecería indicar que en el reino animal, una apreciación aunque sea grosera del concepto de cantidad es necesaria para la supervivencia de cada especie.


Esta capacidad innata ha sido evidenciada mediante estudios en niños de la primera infancia (hasta un año)


Investigaciones de psicología cognitiva realizados en las universidades de Harvard y de París han demostrado que entre los 6 y 7 meses los bebés ya discriminan visualmente y sin entrenamiento previo entre conjuntos de dos y de tres objetos. Para demostrar esto se les proyectaron a los niños diapositivas que los bebés observaron detenidamente durante un cierto tiempo. Cuando el bebé espontáneamente dejaba de mirar la diapositiva, esta era reemplazada por otra diferente. Las primeras diapositivas contenían dos puntos negros separados por diferentes distancias. Cuando los niños dejaban de mirar la diapositiva, esta era reemplazada, sin advertencias, por otra que contenía tres puntos. Inmediatamente después del reemplazo el bebé volvía a mirar la nueva diapositiva fijamente durante un período más largo. Los mismos resultados se obtuvieron al cambiar el orden de presentación de las diapositivas, mostrando primero aquellas que contenían tres puntos y luego las de dos. También se realizaron ensayos similares en recién nacidos, obteniéndose resultados semejantes. Sobre la base de estos hallazgos se postuló que los bebés poseen una capacidad innata para el procesamiento numérico o, por lo menos, que cambios en la cantidad de objetos que observan atraen su atención.


La psicologia cognitiva


Esta rama de la psicología se encarga del estudio de los procesos mentales de conocimiento implicados en el comportamiento. Tiene como objeto de estudio los mecanismos básicos y profundos por los que se elabora el conocimiento, desde la percepción, la memoria y el aprendizaje, hasta la formación de conceptos y el razonamiento lógico.


Por otra parte, se pudo determinar que los recién nacidos pueden discriminar entre palabras de dos y tres sílabas controlando el contenido fonético, la duración y la velocidad del discurso.


En un estudio diferente realizado en bebés de 5 meses de edad, se colocó una marioneta en un escenario y luego se la cubrió con un telón. A continuación otra marioneta idéntica a la primera fue ubicada delante del telón mientras el bebé observaba. Si al abrir el telón aparecían ambas marionetas, el bebé no se sorprendía, y no observaba durante mucho tiempo el escenario. En cambio si la marioneta oculta por el telón se había retirado el bebé miraba al escenario durante un tiempo más largo. Lo mismo cuando aparecían tres marionetas. Estas respuestas indican que el bebé puede interpretar que el agregado de uno a uno da dos y no tres ni uno.


En el Laboratorio de Estudios del Desarrollo de la Universidad de Harvard, el grupo que conduce la psicóloga Elizabeth Spelke observó que los niños de 6 meses de edad pueden discriminar visualmente entre cantidades presentadas como cocientes de ‘2’ tales como entre 16 y 8. Lo mismo sucede al percibir las cantidades en forma auditiva, lo cual avala la noción de que los bebés son capaces de procesar las cantidades en forma abstracta independientemente del modo de presentación, sea este visual o auditivo.


Los bebés humanos parecen por lo tanto poseer la capacidad innata de realizar cálculos aritméticos. Está claro, sin embargo, que las habilidades numéricas en los bebés están estrictamente limitadas a lo más elemental de la aritmética más simple; la cultura hará el resto. Por ejemplo, la capacidad de los bebés para realizar cálculos exactos parece no extenderse más allá de los que usan los números 1, 2 y 3, y posiblemente 4. Sin embargo, esta rudimentaria capacidad sería la base sobre la que se desarrollaría el conocimiento aritmético más complejo de modo que, como propone el grupo de Elizabeth Spelke, los bebés llegan al mundo mentalmente equipados con ciertos sistemas básicos para ordenar al mundo.


Esta propuesta tiene importantes connotaciones no solo en la psicología cognitiva, sino que afecta el corazón mismo de muchas de las ideas filosóficas que sirven de base al empirismo extremo y de alguna manera se relacionaría con posiciones más cercanas a las propuestas por Kant; aunque de esto nos ocuparemos en un futuro artículo.


Por otra parte, desde la pedagogía clásica, las nuevas hipótesis que hemos resumido reformularían de alguna manera las del psicólogo suizo Jean Piaget, quien postulaba que los bebés nacían con capacidades sensoriales pero no con la capacidad innata de procesar objetos numéricos (ver recuadro Jean Piaget y las etapas del desarrollo psicológico de los seres humanos). Elizabeth Spelke afirma que aun los recién nacidos entienden que las cosas existen cuando todavía no las han visto, y que los humanos están dotados además con un sentido natural de la geometría, habilidad que les permite orientarse en el espacio. La geometría innata podríamos decir que es de alguna manera euclidiana, otras formas de geometría menos intuitivas son producto de la evolución cultural.


Tanto Spelke como su colega francés Stanislas Dehaene consideran que los niños son capaces de discriminar cantidades (numerosidad) a lo largo de su desarrollo hasta la emergencia del lenguaje y la discriminación numérica simbólica. En una de sus últimas publicaciones, estos investigadores consideran que si bien algunos conceptos numéricos como el de ‘números reales’ son patrimonio solo de los humanos adultos, otras habilidades numéricas están presentes también en niños y aun en otras especies. Entre estas habilidades numéricas están las relacionadas con un sistema más rudimentario de captación de grandes diferencias entre cantidades y un sistema de aproximación. Al llegar al estado adulto los humanos desarrollarían un sistema más ‘fino’ que permite la representación precisa de cantidades pequeñas. Se ha demostrado, por ejemplo, que los niños en edad preescolar son capaces de comparar y de adicionar conjuntos de elementos presentados en forma visual o auditiva y que lo hacen sin siquiera intentar contarlos como si un vistazo o la audición de conjuntos de elementos pudieran ser procesados instintivamente.


Más allá del interés académico, los resultados que hemos comentado pueden ser de utilidad en la educación en general y en la enseñanza de la matemática en particular. Esto es así porque los conocimientos relatados permitirían desarrollar estrategias basadas en el aprovechamiento de las intuiciones sobre aritmética preexistentes en los chicos para aumentar la adquisición del conocimiento numérico simbólico.


Volviendo a la geometría, cabe preguntar ahora cuál es la base de esta disciplina y reflexionar si la captación crítica del mundo por los sentidos, que parece obedecer o ser la base de la geometría euclidiana (la que se enseña en la escuela), se debe a razones culturales o a que nacemos con una organización cerebral que nos permite percibir al mundo de esa manera. Discernir entre estas dos posibilidades es más que difícil ya que requiere realizar la tarea de encontrar un grupo humano lo suficientemente aislado de la cultura y de la escolarización geométrica tradicional típica de la mayoría de las escuelas occidentales y orientales por igual. Esto fue logrado recientemente por investigadores del INSERM (Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale) y la Universidad de Harvard, los que estudiaron la tribu Mundurukú del Amazonas que está lo suficientemente aislada como para probar la hipótesis del ‘instinto geométrico’ innato. Los resultados de este estudio, publicados en la revista Science, mostraron que tanto los niños como los adultos del grupo utilizan conceptos geométricos básicos como los de ‘punto’, ‘línea’, ‘paralela’ y otros cuando se le presentan diversas imágenes, o para localizar objetos en planos presentados por los investigadores.


Efecto distancia y efecto numérico


Para validar el significado de los estudios descriptos hasta aquí es menester demostrar que las habilidades matemáticas tienen una base biológica evolutiva común a diferentes especies sobre la que se sustenta la evolución cultural que ha llevado a las matemáticas al nivel de complejidad que actualmente poseen. Esto parece ser así ya que se ha comprobado que animales y humanos comparten dos características propias del procesamiento numérico conocida con los nombres de efecto de la distancia y valor numérico.


Se conoce como efecto de la distancia a la disminución sistemática de la discriminación entre números a medida que decrece la distancia que separa sus valores. El efecto determina que se tarde más en reconocer, por ejemplo, que 8 es mayor que 7, que lo que se demora en detectar que 8 es mayor que 4.


El efecto del valor numérico significa que para números que difieren en un valor constante, la capacidad de distinguir la diferencia entre ellos disminuye a medida que aumenta el valor de estos números. Por ejemplo, resulta más fácil determinar que 8 es menor que 14 que decir que 26 es menor que 32 a pesar de que en ambos la diferencia es 6.


Los dos efectos han sido identificados en animales y niños de la primera infancia. Esto confirma el origen evolutivo de la capacidad de procesar números pero también señala que los animales y los niños pequeños poseen una representación confusa de los números que determina que solo puedan ser representados con exactitud números de bajo valor, y que a medida que los valores crecen la representación se hace cada vez más imprecisa.


Los efectos de la distancia y del valor numérico persisten en adultos, a pesar de que en ellos los números se representan simbólicamente. Por lo tanto, el cerebro humano adulto parece haber conservado una representación analógica de la cantidad numérica generada por la evolución biológica y muy similar a la observada en animales y en niños antes de que desarrollen el habla. Parecería que cuando los números son presentados en forma de dígitos arábigos o mediante el habla, el cerebro adulto los convierte internamente desde su formato simbólico a una representación analógica cuantitativa. Este modo de acceso interno a la cantidad parece ser un paso obligatorio en el procesamiento numérico.


Cerebro y matemáticas


Además de detectar la existencia de un ‘sentido numérico’ innato, es importante determinar qué áreas del cerebro se activan durante la realización de tareas complejas de cálculo. Para ello se han utilizado voluntarios a los cuales se les examinó la actividad cerebral mediante procedimientos tales como la tomografía por emisión de positrones y la resonancia magnética funcional. Se comprobó de ese modo que durante el desarrollo de actividades aritméticas, se altera el consumo de oxígeno y de glucosa de los lóbulos frontal y parietal del cerebro y particularmente en este último en una región denominada surco intraparietal (HIPS) (figuras 1 y 2) lo que indica que regiones específicas del cerebro se activan al realizar tareas aritméticas. Parecería que el HIPS tendría una suerte de mapa espacial o ‘línea numérica’; es decir, una representación no verbal de la cantidad numérica, que supuestamente sería lo que nos ‘dota’ del conocimiento intuitivo sobre el valor numérico y la relación de proximidad entre estos. Diferentes resultados obtenidos son consistentes con la hipótesis de que el HIPS codifica de forma abstracta el significado cuantitativo de los números más que los símbolos numéricos en sí. Si bien el HIPS es la región más importante para el correcto desarrollo de las habilidades numéricas no es el único sistema involucrado en el procesamiento numérico. Numerosos estudios sugieren que procesos basados en el lenguaje desempeñan un papel importante en los cálculos exactos pero no en los aproximados.


Un estudio reciente de la actividad del cerebro permitió diferenciar dos sistemas en el lóbulo parietal que a menudo están involucrados en tareas numéricas, aunque su función primaria no está específicamente relacionada con ellos. Uno es una zona situada en una región cerebral denominada giro angular izquierdo (AG) (ver figura 3), que está vinculada al procesamiento verbal de los números. La otra, situada en la parte superior y posterior del lóbulo parietal (PSPL) participa probablemente en el proceso de atención. Parece obvio postular que las regiones que hemos mencionado están relacionadas entre sí ya que la aproximación numérica, la representación simbólica y la atención son procesos que se ponen en marcha durante cualquier tarea matemática por simple que esta sea.


El éxito obtenido en la localización en el cerebro de algunas de las actividades relacionadas con el procesamiento cerebral de los números, parece hacer resurgir la idea de un localizacionismo cerebral fuerte (ver recuadro). Sin embargo, la actividad de zonas cerebrales específicas probablemente sea incapaz de explicar la totalidad de las habilidades mentales relacionadas con tareas complejas como el procesamiento numérico. Más bien estas tareas serían el resultado de la integración simultánea de varios módulos del cerebro, entre los cuales las áreas mencionadas serían solo alguno de ellos. Con las técnicas disponibles actualmente es posible diferenciar las tres regiones señaladas arriba y evidenciar que están implicadas en el proceso matemático. Si embargo, cuando estas técnicas se integran con estudios neuropsicológicos se comprueba que al menos dos de estas regiones (el giro angular y el PSPL) no son específicas para el procesamiento numérico. La zona que sí parece dotada de esta especificidad es el HIPS. Esta afirmación está basada en que esta zona se activa más cuando las palabras percibidas se refieren a números y no a otros objetos y que el grado de activación aumenta al incrementarse la cantidad de palabras con significado numérico. Esta respuesta es independiente de la notación con que se aprecien los números utilizados.


A pesar de que aún queda mucho por investigar, cada vez son más las evidencias que sugieren que nuestro cerebro, al igual que el de los animales, está equipado desde el nacimiento con un ‘sentido numérico’, el que a través de un mecanismo aun no bien conocido es capaz de encontrar en la realidad un paralelo con las abstractas estructuras matemáticas. Las implicancias son variadas y en diferentes áreas del conocimiento desde la filosofía hasta la pedagogía pasando por los trastornos neurológicos en los cuales se hace difícil y hasta imposible efectuar operaciones matemáticas elementales.

 


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